歷年考研數(shù)學(xué)真題解析線(xiàn)性代數(shù)命題特點(diǎn)解析
考研數(shù)學(xué)是研究生招生入學(xué)考試中通過(guò)筆試的形式對(duì)考生數(shù)學(xué)功底的考查，從近幾年的考研數(shù)學(xué)歷年真題分析結(jié)果來(lái)看，可以得出一個(gè)結(jié)論：線(xiàn)性代數(shù)的難度在高數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)之間，且大多數(shù)的同學(xué)認(rèn)為線(xiàn)性代數(shù)試題難度不大，就是計(jì)算量稍微偏大點(diǎn)，線(xiàn)代代數(shù)的考查是對(duì)基本方法的考查，但是往往在做題過(guò)程中需要利用一些性質(zhì)進(jìn)行輔助解決。
線(xiàn)性代數(shù)的學(xué)科特點(diǎn)是知識(shí)點(diǎn)之間的綜合性比較強(qiáng)，這也是它本身的一個(gè)難點(diǎn)。這就需要同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)過(guò)程中，注意對(duì)于知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行對(duì)比著學(xué)習(xí)，有助于鞏固知識(shí)點(diǎn)且不易混淆。
總體來(lái)說(shuō)，線(xiàn)性代數(shù)主要包括六部分的內(nèi)容，行列式、矩陣、向量、線(xiàn)性方程組、特征值與特征向量、二次型。
一、行列式部分，熟練掌握行列式的計(jì)算。
行列式實(shí)質(zhì)上是一個(gè)數(shù)或含有字母的式子，如何把這個(gè)數(shù)算出來(lái)，一般情況下很少用行列式的定義進(jìn)行求解，而往往采用行列式的性質(zhì)將其化成上或下三角行列式進(jìn)行計(jì)算，或是采用降階法(按行或按列展開(kāi)定理)，甚至有時(shí)兩種方法同時(shí)用。此外范德蒙行列式也是需要掌握的。行列式的考查方式分為低階的數(shù)字型矩陣和高階抽象行列式的計(jì)算、含參數(shù)的行列式的計(jì)算等等。同學(xué)們只要掌握了基本方法即可。
二、矩陣部分，重視矩陣運(yùn)算，掌握矩陣秩的應(yīng)用。
通過(guò)考研數(shù)學(xué)歷年真題分類(lèi)統(tǒng)計(jì)與考點(diǎn)分布，矩陣部分的考點(diǎn)集中在逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣的秩及矩陣方程的考查。此外，含隨矩陣的矩陣方程，矩陣與行列式的關(guān)系、逆矩陣的求法也是考生需要掌握的知識(shí)點(diǎn)。涉及秩的應(yīng)用，包含秩與矩陣可逆的關(guān)系，矩陣及其伴隨矩陣秩之間的關(guān)系，矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系，矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)的區(qū)別與聯(lián)系，系數(shù)矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的分析。
三、向量部分，理解相關(guān)無(wú)關(guān)概念，靈活進(jìn)行判定。
向量組的線(xiàn)性相關(guān)問(wèn)題是向量部分的重中之重，也是考研線(xiàn)性代數(shù)每年必出的考點(diǎn)。要求考生掌握線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性表出、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的定義。以及如何判斷向量組線(xiàn)性相關(guān)及線(xiàn)性無(wú)關(guān)的方法。 向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組以及向量組等價(jià)這些重要的知識(shí)點(diǎn)要求同學(xué)們一定一定掌握到位。
這是線(xiàn)性代數(shù)前三個(gè)內(nèi)容的命題特點(diǎn)，而行列式的矩陣是整個(gè)線(xiàn)性代數(shù)的基礎(chǔ)，對(duì)于行列式的計(jì)算及矩陣的運(yùn)算與一些重要的性質(zhì)與結(jié)論請(qǐng)考生朋友們一定要?jiǎng)?wù)必掌握，否則的話(huà)，對(duì)于后面四部分的學(xué)習(xí)會(huì)越學(xué)越難，希望同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)過(guò)程中一定注意前面內(nèi)容的復(fù)習(xí)，為后面的考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)打好基礎(chǔ)。
前面我們已經(jīng)分析過(guò)，考研數(shù)學(xué)線(xiàn)性代數(shù)這門(mén)學(xué)科整體的特點(diǎn)是知識(shí)點(diǎn)之間的綜合性比較強(qiáng)，有些概念較為抽象，這也是大部分考生認(rèn)為考研數(shù)學(xué)線(xiàn)性代數(shù)不好學(xué)，根本找不到復(fù)習(xí)的頭緒，做題時(shí)也是一頭霧水，不知道怎么分析考慮。
這里，老師要求大家在學(xué)習(xí)過(guò)程中一定要注意知識(shí)間之間的關(guān)聯(lián)性，理解概率的實(shí)質(zhì)。如：矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)聯(lián)，矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)的區(qū)別，矩陣等價(jià)、相似、合同三者之間的區(qū)別與聯(lián)系、矩陣相似對(duì)角化與實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正交變換對(duì)角化二者之間的區(qū)別與聯(lián)系等等。若是同學(xué)們對(duì)于上面的問(wèn)題根本分不清楚，則說(shuō)明大家對(duì)于基本概念、基本方法還沒(méi)有完全理解透徹。不過(guò)，大家也不要太焦急，希望同學(xué)們?cè)诤笃诘?復(fù)習(xí)過(guò)程中對(duì)于基本概念、基本方法要多加理解和體會(huì)，學(xué)習(xí)一定要有心得。
下面我們分析一下后面三部分的內(nèi)容，線(xiàn)性方程組、特征值與特征向量、二次型的命題特點(diǎn)。
線(xiàn)性方程組，會(huì)求兩類(lèi)方程組的解。線(xiàn)性方程組是線(xiàn)性代數(shù)這么學(xué)科的核心和樞紐，很多問(wèn)題的解決都離不開(kāi)解方程組。因而線(xiàn)性方程組解的問(wèn)題是每年必考的知識(shí)點(diǎn)。對(duì)于齊次線(xiàn)性方程組，我們需要掌握基礎(chǔ)解系的概念，以及如何求一個(gè)方程組的基礎(chǔ)解系。清楚明了基礎(chǔ)解系所含線(xiàn)性無(wú)關(guān)解向量的個(gè)數(shù)和系數(shù)矩陣的秩之間的關(guān)系。會(huì)判斷非齊次線(xiàn)性方程組的解的情況，掌握其求解的方法。此外，考生還需要掌握非齊次線(xiàn)性方程組與其對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組的解結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。
特征值與特征向量，掌握矩陣對(duì)角化的方法。這一部分是理論性較強(qiáng)的，理解特征值與特征向量的定義及性質(zhì)，矩陣相似的定義，矩陣對(duì)角化的定義。同學(xué)們還需掌握求矩陣特征值與特征向量的基本方法。會(huì)判斷一個(gè)矩陣是否可以對(duì)角化，若可以的話(huà)，需要把相應(yīng)的可逆矩陣P求出來(lái)。還需要注意矩陣及其關(guān)聯(lián)矩陣(轉(zhuǎn)置、逆、伴隨、相似)的特征值與特征向量的關(guān)系。反問(wèn)題也是喜歡考查的一類(lèi)題型，已知矩陣的特征值與特征向量，反求矩陣A。
二次型，理解二次型標(biāo)準(zhǔn)化的過(guò)程，掌握實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化。二次型幾乎是每年必考的一道大題，一般考查的是采用正交變換法將二次型標(biāo)準(zhǔn)化。掌握二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范型之間的區(qū)別與聯(lián)系。會(huì)判斷二次型是否正定的一般方法。討論矩陣等價(jià)、相似、合同的關(guān)系。
雖然線(xiàn)性代數(shù)在考研數(shù)學(xué)考試試卷中僅有5題，占有34分的分值，但是這34分也不是很輕松就能拿下的。同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)過(guò)程中需要對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)理解透徹，做考研數(shù)學(xué)題過(guò)程中多分析總結(jié)。
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