北師大九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試題
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1.在直角三角形 中，如果各邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大到原來的2倍，則銳角 的正弦值和正切值（ ）
A.都縮小到原來的 B.都擴(kuò)大到原來的2倍
C.都沒有變化 D.不能確定
2.如，菱形 的對(duì)角線 =6， =8，∠ = ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.sin = B.cos = C.tan = D.tan =
3.如，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1∶ ，堤高BC=10 m，則坡面AB的長(zhǎng)度是（ ）
A.15 m B.20 m C.20 m D.10 m
4.如，在△ 中， =10，∠ =60°，∠ =45°，則點(diǎn) 到 的距離是（ ）
A.10-5 B.5+5 C.15-5 D.15-10
5.（2015貴州銅仁中考）河北省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如所示的平面直角坐標(biāo)系，其函數(shù)的關(guān)系式為y=- ，當(dāng)水面離橋拱頂?shù)母叨菵O是4 m時(shí)，這時(shí)水面寬度AB為（ ）
A.-20 m B.10 m C.20 m D.-10 m
6.用配方法將函數(shù) = 2-2 +1寫成 = ( - )2+ 的形式是（ ）
A. = ( -2)2-1 B. = ( -1)2-1
C. = ( -2)2-3 D. = ( -1)2-3
7.如所示，二次函數(shù) = 2-4 +3的象與 軸交于 ， 兩點(diǎn)，與 軸交于 點(diǎn)，則△ 的面積為（ ）
A. B. C. D. 第7題
8.上午9時(shí)，一船從 處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度向正東方向航行，9時(shí)30 分到達(dá) 處，如所示，從 ， 兩處分別測(cè)得小島 在北偏東45°和北偏東15°方向，那么 處與小島 的距離為（ ）
A.20海里 B.20 海里
C.15 海里 D.20 海里
9.函數(shù) 的部分象與 的交點(diǎn)分別為A（1，0），B（0，3），對(duì)稱軸是 ，在下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（ ）
A.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）
B.函數(shù)的表達(dá)式為
C.當(dāng)
D.拋物線與 軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（-3，0） 第8題
10. （2015山東濰坊中考）已知二次函數(shù)y= +bx+c+2的象如所示，頂點(diǎn)為
(-1，0)，下列結(jié)論：
�、賏bc<0；② -4ac="0；③a">2；④4a-2b+c>0.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C. 3 D.4 第10題
二、填空題（每小題3分，共24分）
11.在離旗桿20 m的地方用測(cè)角儀測(cè)得旗桿桿頂?shù)难鼋菫?，如果測(cè)角儀高1.5 m，那么旗桿的高為________m.
12.如果sin = ，則銳角 的余角是__________.
13.（湖北襄陽中考）如，在建筑平臺(tái)CD的頂部C處，測(cè)得大樹AB的頂部A的仰角為45°，測(cè)得大樹AB的底部B的俯角為30°，已知平臺(tái)CD的高度為5 m，則大樹的高度為 m.（結(jié)果保留根號(hào)）
14.如，在離地面高度為5 m的 處引拉線固定電線桿，拉線與地面成 角， 則拉線 的長(zhǎng)為__________m(用 的三角函數(shù)值表示).
15.中陰影部分的面積相等的是 .
第15題
16.如，已知拋物線 經(jīng)過點(diǎn)（0，－3），請(qǐng)你確定一個(gè) 的值使該拋物線與 軸的一個(gè)交點(diǎn)在(1，0)和(3，0)之間，你所確定的 的值是 ．
第18題
17.某涵洞是拋物線形，它的截面如所示，現(xiàn)測(cè)得水面寬 =1.6 m，涵洞頂點(diǎn) 到水面的距離為2.4 m，在中直角坐標(biāo)系內(nèi)，涵洞所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式是___________.
18.（2015山東濰坊中考）觀光塔是濰坊市區(qū)的標(biāo)志性建筑.為測(cè)量其高度，如，一人先在附近一樓房的底端Ａ點(diǎn)處觀測(cè)觀光塔頂端C處的仰角是60°，然后爬到該樓房頂端B點(diǎn)處觀測(cè)觀光塔底部D處的俯角是30°，已知樓房高AB約是45 m，根據(jù)以上觀測(cè)數(shù)據(jù)可求觀光塔的高CD是______m.
三、解答題（共66分）
19.(7分)計(jì)算:6tan230°－cos 30°tan 60°－2sin 45°+cos 60°.
20.(7分)如，李莊計(jì)劃在山坡上的 處修建一個(gè)抽水泵站，抽取山坡下水池中的水用于灌溉，已知 到水池 處的距離 是50米，山坡的坡角∠ =15°，由于受大氣壓的.影響，此種抽水泵的實(shí)際吸水揚(yáng)程 不能超過10米，否則無法抽取水池中的水， 試問抽水泵站能否建在 處?
第20題 第21題
21.(8分)如，有一座拋物線形拱橋，橋下面正常水位時(shí)AB寬20 m，水位上升3 m就達(dá)到警戒線CD，這時(shí)水面寬度為10 m.
(1)在如所示的平面直角坐標(biāo)系中求拋物線的表達(dá)式.
(2)若洪水到來時(shí)，水位以每小時(shí)0.2 m的速度上升，從警戒線開始，再持續(xù)多少小時(shí)才能到達(dá)拱橋頂?
22.(8分)某電視塔 和樓 的水平距離為100 m，從樓頂 處及樓底 處測(cè)得塔頂 的仰角分別為45°和60°，試求樓高和電視塔高(精確到0.1 m).
第22題
23.(8分)如所示，一個(gè)運(yùn)動(dòng)員推鉛球，鉛球在點(diǎn)A處出手，出手時(shí)球離地面約 .鉛球落地點(diǎn)在B處，鉛球運(yùn)行中在運(yùn)動(dòng)員前4 m處(即 m)達(dá)到最高點(diǎn)，最高點(diǎn)高為3 m.已知鉛球經(jīng)過的路線是拋物線，根據(jù)示的直角坐標(biāo)系，你能算出該運(yùn) 動(dòng)員的成績(jī)嗎?
24.（8分）（2015廣東珠海中考）已知拋物線y=a bx+3的對(duì)稱軸是直線x=1.
�。�1）求證：2a+b=0；
�。�2）若關(guān)于x的方程a +bx-8＝0的一個(gè)根為4，求方程的另一個(gè)根.
25.(10分)如，某海域有兩個(gè)海拔均為200米的海島A和海島B，一勘測(cè)飛機(jī)在距離海平面垂直高度為1 100米的空中飛行，飛行到點(diǎn)C處時(shí)測(cè)得正前方一海島頂端A的俯角是60°，然后沿平行于AB的方向水平飛行1.99×104米到達(dá)點(diǎn)D處，在D處測(cè)得正前方另一海島頂端B的俯角是45°，求兩海島間的距離AB.
26.（10分）（杭州中考）復(fù)習(xí)課中，教師給出關(guān)于x的函數(shù)y=2kx2-（4k+1）x-k+1（k是實(shí)數(shù)）.
教師：請(qǐng)獨(dú)立思考，并把探索發(fā)現(xiàn)的與該函數(shù)有關(guān)的結(jié)論（性質(zhì)）寫到黑板上.
學(xué)生思考后，黑板上出現(xiàn)了一些結(jié)論，教師作為活動(dòng)一員，又補(bǔ)充一些結(jié)論，并從中選擇如下四條：
�、俅嬖诤瘮�(shù)，其象經(jīng)過（1，0）點(diǎn)；
�、诤瘮�(shù)象與坐標(biāo)軸總有三個(gè)不同的交點(diǎn)；
�、郛�(dāng)x>1時(shí)，不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減小；
�、苋艉瘮�(shù)有最大值，則最大值必為正數(shù)，若函數(shù)有最小值，則最小值必為負(fù)數(shù).
教師：請(qǐng)你分別判斷四條結(jié)論的真假，并給出理由.最后簡(jiǎn)單寫出解決問題時(shí)所用的數(shù)學(xué)方法.
參考答案
一、選擇題
1.C 解析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念知:如果各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大到原來的2倍，那么銳角 的各三角函數(shù)沒有變化．故選C．
2.D 解析：菱形 的對(duì)角線 =6， =8，
則 ⊥ ，且 =3， =4．
在Rt△ 中，根據(jù)勾股定理得 =5，
則sin = ，cos = ，tan = ，故選D．
3. C 解析：在Rt△ABC中，BC=10 m，tan A=1∶ .
∴ AC=BC÷tan A=10 （m），
∴ AB= =20（m）.
4.C 解析：如，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.
在Rt△ 中，∠ =60°，∴ = ．
在Rt△ 中，∠ =45°，∴ = . 第4題答
∵ BC=BD+CD,BC=10，∴ 10= + ,解得 =15﹣5 ．
故選C．
5. C 解析：已知OD=4 m，故點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-4．
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x,-4）.把y=-4代入y=- ，得x=10（負(fù)值舍去）．
即水面寬度AB為20 m．
6.A 解析： = 2﹣2 +1= （ 2﹣4 +4）﹣2+1= （ ﹣2）2﹣1.故選A．
7.C 解析：由表達(dá)式 = 2-4 +3=（ -1）（ -3），
則與 軸交點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，0）， （3，0）.
令 =0，得 =3，即 （0，3）.
∴ △ 的面積為
8.B 解析：如，過點(diǎn) 作 ⊥ 于點(diǎn) ． 第8題答
根據(jù)題意，得 =40× =20（海里），∠ =105°．
在Rt△ 中， = 45°=10 （海里）．
在Rt△ 中，∠ =60°，則∠ =30°，
所以 =2 =20 （海里）．故選B．
9. C 解析：將A（1，0），B（0，3）分別代入表達(dá)式,得
解得 則函數(shù)表達(dá)式為 .
將 =-1代入表達(dá)式可得其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）.
當(dāng) =0時(shí)可得 ，
解得
可見，拋物線與 軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（-3，0）.
當(dāng) ＜-1時(shí)， 隨 的增大而增大．
可見，C答案錯(cuò)誤．故選C．
10.Ｂ 解析：∵ 函數(shù)象開口向上，∴ a＞0.
又∵ 頂點(diǎn)為（-1,0），∴ - =-1，∴ b=2a＞0.
由拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可知:c+2＞2，∴ c＞0，∴ abc＞0，故①錯(cuò)誤.
∵ 拋物線頂點(diǎn)在x軸上，∴ -4a（c+2）=0,故②錯(cuò)誤.
∵ 頂點(diǎn)為（-1,0），∴ a-b+c+2=0.
∵ b=2a, ∴ a=c+2. ∵ c＞0, ∴ a＞2,故③正確.
由拋物線的對(duì)稱性可知x=-2與x=0時(shí)函數(shù)值相等，∴ 4a-2b+c+2＞2,
∴ 4a-2b+c＞0,故④正確.
二、填空題
11.（1.5+20tan ） 解析：根據(jù)題意可得：旗桿比測(cè)角儀高20tan m，測(cè)角儀高1.5 m，
故旗桿的高為（1.5+20tan ）m．
12.30° 解析：∵ sin = ， 是銳角，∴ =60°．
∴ 銳角 的余角是90°﹣60°=30°．
13.(5+5 ) 解析：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，
在Rt△BCE中，BE=CD=5 m，
CE= =5 m.
在Rt△ACE中，AE=CEtan 45°=5 m，
AB=BE+AE=（5+5 ）m.
點(diǎn)撥：本題考查了仰角、俯角問題的應(yīng)用，要求能借助仰角或俯角構(gòu)造直角三角形，并通過解直角三角形求解．
14. 解析：∵ ⊥ 且 =5 m，∠CAD= ，
∴ = (m)．
15.②③ 解析：①中的函數(shù)為正比例函數(shù)，與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)（0，0），由于缺少條件，無法求出陰影部分的面積；
�、谥兄本�y=-x+2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），（0，2），故S陰影= ×2×2=2；
�、壑械暮瘮�(shù)是反比例函數(shù)，陰影部分的面積為S= xy= ×4=2；
②③的面積相等.
�、苤�，拋物線與坐標(biāo)軸交于（-1，0），（1，0），（0，-1），故陰影部分的三角形是等腰直角三角形，其面積S= ×2×1=1.
點(diǎn)撥：解答本題首先根據(jù)各形的函數(shù)表達(dá)式求出函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，求得各個(gè)陰影部分的面積，進(jìn)而可比較出各陰影部分面積的大小關(guān)系，熟練掌握各函數(shù)的象特點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵．
16. （答案不唯一） 解析：由題意可知 要想拋物線與 軸的一個(gè)交點(diǎn)在（1，0）和（3，0）之間，只需 和 異號(hào)即可，所以
17. = 2 解析：設(shè)函數(shù)表達(dá)式為 = 2（a≠0），
點(diǎn) 坐標(biāo)應(yīng)該是（﹣0.8，﹣2.4），
則有﹣2.4=（﹣0.8）2 ，
即 =﹣ ，即 =﹣ 2．
18. 135 解析：在Rt△ABD中，∠BAD=90°, = ,
∵ ∠ADB=30°，AB=45 m,∴ = ,∴ AD=45 m.
在Rt△ADC中，∠ADC=90°, = ,
∵ ∠CAD=60°，AD=45 m, ∴ = ,∴ DC=135 m.
三、解答題
19.解：原式= .
20.解：∵ =50米，∠ =15°，
又sin∠ = ，
∴ = sin∠ = 50sin 15°≈13(米) 10米，
故抽水泵站不能建在 處.
21.解：設(shè)其函數(shù)表達(dá)式為 = 2（a≠0），設(shè)拱橋頂?shù)骄渚�的距離為 m，
則 點(diǎn)坐標(biāo)為(-5， - ， 點(diǎn)坐標(biāo)為(-10，- -3)，
故有 解得
所以， (1)拋物線的表達(dá)式為 = 2.
(2)1÷0.2=5(h).
22.解：設(shè) = m，∵ =100 m，∠ =45°，
∴ tan 45°=100 m.∴ =(100+ )m.
在Rt△ 中，∵∠ =60°，∠ =90°，
∴ tan 60°= ，
∴ = ，即 +100=100 ， =100 -100 73.2(m)，
即樓高約為73.2 m，電視塔高約為173.2 m.
23．解:能.∵ OC=4 m,CD=3 m，∴ 頂點(diǎn) 坐標(biāo)為(4，3).
設(shè) +3（a≠0），把 代入上式，得 ，
∴ ，
∴ 即 .
令 ，得 ∴ (舍去)， [來源:Z§xx§k.Com]
故該運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?yōu)?.
24.（1）證明：由拋物線y=a +bx+3的對(duì)稱軸為x=1得，
�。�1.∴ 2a+b=0.
�。�2）解：因?yàn)閽佄锞�y=a +bx-8與y=a +bx+3有相同對(duì)稱軸x=1，
且方程a +bx-8=0的一個(gè)根為4.
設(shè)a +bx-8=0的另一個(gè)根 ，則滿足：4+ = .
∵ 2a+b=0,即b=-2a,
∴ 4+ =2，∴ =-2.
25.分析：首先過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，連接AB,易得四邊形ABFE為矩形.根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得AB=EF，AE=BF.由題意可知：AE=BF=1 100-200＝900(米)，CD=1.99×104米，然后分別在Rt△AEC與Rt△BFD中，利用三角函數(shù)即可求得CE與DF的長(zhǎng)，繼而求得兩海島間的距離.
解：如，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AB.∵ AB∥CD,
∴ ∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，∴ 四邊形ABFE為矩形，∴ AB=EF，AE=BF.
由題意可知：AE=BF=1 100-200=900(米)，
CD=1.99×104米＝19 900米.
∴ 在Rt△AEC中，∠C=60°,AE=900米,
∴ CE= = =300 （米）.
在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=900米，
∴ DF= = =900（米）.
∴ AB=EF=CD+DF-CE=19 900+900-300 =20 800-300 （米）.
答：兩海島之間的距離AB是(20 800-300 ）米.
點(diǎn)撥：此題考查了俯角的定義、解直角三角形與矩形的性質(zhì)．注意能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是求解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
26.分析：①把x=1，y=0代入函數(shù)表達(dá)式，存在k值即可.②需要考慮函數(shù)是一次函數(shù)的情況.③分k=0，k<0，k>0三種情況進(jìn)行討論.④由題意知k≠0，分k<0，k>0兩種情況進(jìn)行討論.
解：①真命題，當(dāng)k=0時(shí)，y=2kx2-（4k+1）x-k+1=-x+1，此時(shí)象經(jīng)過點(diǎn)（1，0）.
②假命題，如①當(dāng)k=0時(shí)，y=-x+1,y為關(guān)于x的一次函數(shù),此時(shí)象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn).
�、奂倜}，分情況討論：當(dāng)k=0時(shí)，y=-x+1，在x>1時(shí)，y隨x的增大而減�。划�(dāng)k<0時(shí)，二次函數(shù)的象開口向下，對(duì)稱軸為x=1+ <1，由象可知，在x>1時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)k>0時(shí)，二次函數(shù)的象開口向上，對(duì)稱軸為x=1+ >1，所以在1<x≤1+ 時(shí)，y隨x的增大而減小，在x＞1+ 時(shí)，y隨x的增大而增大.
綜上，當(dāng)k>0時(shí)，結(jié)論不成立.
�、苷婷}，若函數(shù)有最值，則必然是二次函數(shù)，此時(shí)k≠0，Δ=24k2+1>0，二次函數(shù)的象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)取得最大值時(shí)，二次函數(shù)的象開口向下，最大值必為正數(shù)；當(dāng)取得最小值時(shí)，二次函數(shù)的象開口向上，最小值必為負(fù)數(shù).所用到的數(shù)學(xué)方法：數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等.
點(diǎn)撥：本題是關(guān)于二次函數(shù)象與性質(zhì)的辨別是非題，掌握二次函數(shù)的象與性質(zhì)并分類討論是解題的關(guān)鍵.
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